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REGLAS PARA CÁLCULOS APROXIMADOS Y REDONDEO DE NÚMEROS Los valores numéricos obtenidos como resultado de mediciones de
magnitudes físicas y los cálculos realizados en las ejecuciones de los
trabajos de laboratorio son aproximados. Sin embargo comúnmente, cuando los
estudiantes usan calculadoras electrónicas para los cálculos tienden a
presentar el resultado final con un gran número de decimales, es decir con
una precisión que no está garantizada por los datos iniciales. La regla general es que
aunque la solución aritmética sea muy precisa, no puede ser más precisa que los
supuestos sobre la que se funda. Es por esto que en la ejecución de cálculos
es necesario respetar unas reglas de redondeo y de cálculos aproximados. La Teoría de los cálculos
aproximados permite: 1) Conociendo la
precisión de los datos iniciales valorar la precisión del resultado de los
cálculos realizados. 2) Tomar los datos
iniciales con una precisión tal, que se garantice la precisión esperada de
los resultados. 3) Liberar el
proceso de cálculo de operaciones innecesarias, las cuales no tienen efecto
en la precisión del resultado. La norma técnica colombiana NTC 3711 (JIS Z 8401) enuncia las
siguientes reglas para el redondeo de valores numéricos. Cuando se redondea un valor numérico a n cifras significativas(1)
o a n lugares decimales, las cifras que están más allá del dígito n-ésimo
se considerarán así: Nota (1) El número de cifras significativas se contará
desde el lugar de la primera cifra diferente a cero. (1) Si el valor
numérico más allá del dígito n-ésimo es menor que media unidad del
dígito n-ésimo, se deberá bajar. (2) Si el valor
numérico más allá del dígito n-ésimo es mayor que media unidad del
dígito n-ésimo, éste se incrementará en la unidad. (3) Si se conoce
que el valor numérico más allá del dígito n-ésimo es exactamente la
mitad de la unidad del dígito n-ésimo, o no se sabe si se ha
redondeado hacia arriba o hacia abajo, se deberá seguir lo establecido en a)
ó b). a) Si el dígito n-ésimo
es 0,2,4,6 u 8, se redondeará hacia abajo. b) El dígito n-ésimo
se aumentará en una unidad si el dígito n-ésimo es 1,3,5,7 ó 9 (4) Si se conoce
que el valor numérico más allá del dígito n-ésimo ha sido redondeado
hacia arriba o hacia abajo se deberá seguir el método (1) ó (2). Observación: este procedimiento de redondeo se deberá hacer en
un paso. Por ejemplo, si 5,346 se redondea por este método a 2 cifras
significativas, se convierte en 5,3. No se debe hacer en dos pasos, como se
muestra enseguida:
Hasta aquí las reglas que ordena el estándar NTC 3711 (JIS Z 8401),
si a usted le parecen un poco confusas, pueden usarse las siguientes reglas
usadas en la literatura científica tradicional común. Para el redondeo de
números se deben seguir las siguientes reglas [1]: 1) Si la primera
cifra que se omite (arroja) es 0, 1, 2, 3 ó 4, entonces la última cifra que
se conserva en el número aproximado se conserva sin ningún cambio (redondeo
con defecto). 2) Si después de la
última cifra conservada sigue un 9, 8, 7, 6 ó 5, luego de la cual sigue una o
varias cifras significativas, entonces en necesario sumar una unidad a la
cifra que se conserva, si la última cifra que se conserva es 9, ésta debe
cambiarse a 0 y se aumenta en una unidad el valor de la penúltima cifra
(redondeo con exceso). 3) Si luego de la
última cifra conservada se tiene sólo la cifra 5 ó la cifra 5 seguida de
ceros, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la
cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior Ejemplos. ·
Redondear el número 28,872 hasta tres cifras significativas. Debido a que la primera
cifra que se arroja 7, es mayor que 5, entonces la cifra 8 se aumenta en una
unidad, obteniéndose el número redondeado 28,9. ·
Redondear el número 28,252 hasta tres cifras significativas. Debido a que la primera
cifra que se arroja es 5 y después de ella sigue la cifra significativa 2,
entonces la cifra que se conserva, 2 se aumenta en una unidad. El número
redondeado será 28,3. ·
Redondear el número 0,8735 hasta tres cifras significativas. Debido a que la última
cifra que se conserva 3 es impar, entonces se aumenta en una unidad y el
número redondeado será 0,874. Cuando se redondean
números mayores de diez, los ceros que no son cifras confiables no se
escriben y se denota por separado el multiplicador 10x. Por ejemplo el número
158965,7 redondeado hasta tres cifras significativas, debe ser representado
como 159 × 103
ó 15,9 × 104
ó 1,59 × 105.
Esta última notación es la preferida. Si, por ejemplo, el número
5230 tiene sólo las dos primeras cifras confiables, se debe escribir 5,2 × 103. En el número 3500 hay
cuatro cifras confiables, en el número 3,5 × 103 hay sólo
dos cifras confiables. Cuando se realiza un
redondeo el valor aproximado puede ser mayor o menor que el número exacto. En la práctica en la
mayoría de los casos no se conoce el valor exacto del número aproximado y el
error de su redondeo. Sin embargo siempre es posible indicar la magnitud del
error límite absoluto Da, el cual
representa un número positivo, para el cual se cumple la desigualdad
donde z es el valor exacto del número a es el valor aproximado del número z. El error límite absoluto
para los números aproximados, independientemente del método de su obtención,
se toma siempre igual a media unidad del orden de la última cifra conservada: Da = 0,5 × 10 – r, donde r – es el número de posiciones
después de la coma. Ejemplo. El número a = 2,103 tiene un error
límite absoluto Da = 0,5 × 10 – 3 =
0,0005,
ó z = 2,103 ± 0,0005 La relación entre el error
límite absoluto del número aproximado y el número mismo se llama error límite
relativo y comúnmente se indica en porcentaje. Ejemplo. El error límite
relativo del número a = 2,103 es igual a
Si el error de un número no
se indica, entonces se considera que es igual a media unidad del orden de la
última cifra. Los números aproximados
por lo común se caracterizan por la cantidad de posiciones después de la coma
conservadas, o por la cantidad de cifras significativas. Se llaman cifras
significativas a todos los números, excepto los ceros a la izquierda. El cero
se considera cifra significativa sólo cuando está entre otras cifras
significativas o cuando está al final de un número y no se sabe si se tienen
unidades del orden correspondiente en el número dado. Ejemplo. Los números
453; 80,2; 0,0823; 0,250; 470 tienen tres cifras significativas. Las cifras en un número
aproximado son llamadas confiables si la diferencia entre el número exacto z
y su valor aproximado a no es mayor que la mitad de la unidad del
orden de la última cifra del número aproximado, que en este caso es el error
límite absoluto Da. De manera que, de acuerdo
a esta regla todas las cifras significativas de un número aproximado son
confiables. El error del resultado de
cualquier operación aritmética realizada con números aproximados se expresa a
través del error de los datos iniciales sobre la base de la Teoría del
cálculo de errores de funciones. Cuando se realiza una gran
cantidad de cálculos y no se tienen en cuenta los errores de cada resultado
por separado, es necesario regirse por las siguientes reglas, las cuales
garantizan la obtención de resultados con todas las cifras confiables. 1. Cuando se suman y
restan números aproximados es necesario redondear el resultado final hasta el
número más pequeño de cifras decimales que tenían los datos iniciales. Los
números que tienen más cifras decimales es necesario redondearlos previamente
conservando una cifra decimal más que las que posee el número con menos
cantidad de cifras decimales. Ejemplo. Encontrar la
suma 28,4+32,844+0,452+2,786 Ya que el primer sumando
tiene sólo décimas, redondeamos el resto de sumandos hasta las centésimas.
Luego de la suma, redondeamos el resultado hasta las décimas. 28,4 + 32,84 + 0,45 + 2,79
= 64,48 » 64,5. 2. Cuando se multiplican y dividen números es necesario previamente
redondearlos, conservando una cifra significativa de más con respecto a la
cantidad de cifras significativas del número que tiene el menor número de ellas.
En el resultado definitivo se conservan tantas cifras significativas como
tenga el que menos cifras significativas tenía. Ejemplo. Encontrar el
producto de 1,4 × 2,614 × 7,1956 Previamente redondeamos
todos los números hasta las centésimas. Luego de la multiplicación
redondeamos hasta las décimas: 1,4 × 2,614 × 7,1956 = 26,309 » 26,3 3. Cuando se eleva al cuadrado o al cubo en el resultado final se
deben conservar tantas cifras decimales, cuantas tiene el número aproximado a
elevarse a la potencia dada. Ejemplo. Elevar al cuadrado el numero 4,43. Obtenemos 4,432 =
19,6249 » 19,62. 4. Cuando se extrae raíz cuadrada o cúbica en el resultado final se
debe tomar tantas cifras decimales cuantas tenía el número bajo el signo de
radical. Ejemplo. Extraer la raíz cuadrada de 4,33 × 10 – 6 . Obtenemos 5. Cuando se realiza el cálculo de expresiones complejas es necesario
cumplir las reglas 1...4, en correspondencia con el tipo de operaciones
realizadas. En este caso en todas los resultados intermedios se debe
conservar una cifra significativa más, la cual en el resultado final se
arroja de acuerdo a las reglas de redondeo. Ejemplo. Encontrar el valor numérico de la expresión
En la expresión el número 2,4 es el que tiene menos cifras
significativas, por esto todo los resultados intermedios deben ser
redondeados hasta tres cifras significativas. El resultado final se redondea
hasta dos cifras significativas. Obtenemos
Referencia [1] Resistencia de
Materiales: Manual de Laboratorio. M.D. Podskrebko, Minsk, Amalfeya,
2001, 272 pag. Descargar
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