REGLAS PARA CÁLCULOS APROXIMADOS

Y REDONDEO DE NÚMEROS

 

 

Los valores numéricos obtenidos como resultado de mediciones de magnitudes físicas y los cálculos realizados en las ejecuciones de los trabajos de laboratorio son aproximados. Sin embargo comúnmente, cuando los estudiantes usan calculadoras electrónicas para los cálculos tienden a presentar el resultado final con un gran número de decimales, es decir con una precisión que no está garantizada por los datos iniciales.

 

La regla general es que aunque la solución aritmética sea muy precisa, no puede ser más precisa que los supuestos sobre la que se funda. Es por esto que en la ejecución de cálculos es necesario respetar unas reglas de redondeo y de cálculos aproximados.

 

La Teoría de los cálculos aproximados permite:

 

1)     Conociendo la precisión de los datos iniciales valorar la precisión del resultado de los cálculos realizados.

2)     Tomar los datos iniciales con una precisión tal, que se garantice la precisión esperada de los resultados.

3)     Liberar el proceso de cálculo de operaciones innecesarias, las cuales no tienen efecto en la precisión del resultado.

 

La norma técnica colombiana NTC 3711 (JIS Z 8401) enuncia las siguientes reglas para el redondeo de valores numéricos.

 

Cuando se redondea un valor numérico a n cifras significativas(1) o a n lugares decimales, las cifras que están más allá del dígito n-ésimo se considerarán así:

 

Nota (1) El número de cifras significativas se contará desde el lugar de la primera cifra diferente a cero.

 

(1)  Si el valor numérico más allá del dígito n-ésimo es menor que media unidad del dígito n-ésimo, se deberá bajar.

 

(2)  Si el valor numérico más allá del dígito n-ésimo es mayor que media unidad del dígito n-ésimo, éste se incrementará en la unidad.

 

(3)  Si se conoce que el valor numérico más allá del dígito n-ésimo es exactamente la mitad de la unidad del dígito n-ésimo, o no se sabe si se ha redondeado hacia arriba o hacia abajo, se deberá seguir lo establecido en a) ó b).

 

a)     Si el dígito n-ésimo es 0,2,4,6 u 8, se redondeará hacia abajo.

b)    El dígito n-ésimo se aumentará en una unidad si el dígito n-ésimo es 1,3,5,7 ó 9

 

(4)  Si se conoce que el valor numérico más allá del dígito n-ésimo ha sido redondeado hacia arriba o hacia abajo se deberá seguir el método (1) ó (2).

 

Observación: este procedimiento de redondeo se deberá hacer en un paso. Por ejemplo, si 5,346 se redondea por este método a 2 cifras significativas, se convierte en 5,3. No se debe hacer en dos pasos, como se muestra enseguida:

 

 

(primer paso)

(segundo)

5,346

5,35

5,4

 

Hasta aquí las reglas que ordena el estándar NTC 3711 (JIS Z 8401), si a usted le parecen un poco confusas, pueden usarse las siguientes reglas usadas en la literatura científica tradicional común.

 

Para el redondeo de números se deben seguir las siguientes reglas [1]:

 

1)     Si la primera cifra que se omite (arroja) es 0, 1, 2, 3 ó 4, entonces la última cifra que se conserva en el número aproximado se conserva sin ningún cambio (redondeo con defecto).

2)     Si después de la última cifra conservada sigue un 9, 8, 7, 6 ó 5, luego de la cual sigue una o varias cifras significativas, entonces en necesario sumar una unidad a la cifra que se conserva, si la última cifra que se conserva es 9, ésta debe cambiarse a 0 y se aumenta en una unidad el valor de la penúltima cifra (redondeo con exceso).

3)     Si luego de la última cifra conservada se tiene sólo la cifra 5 ó la cifra 5 seguida de ceros, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior

 

Ejemplos.

·        Redondear el número 28,872 hasta tres cifras significativas.

 

Debido a que la primera cifra que se arroja 7, es mayor que 5, entonces la cifra 8 se aumenta en una unidad, obteniéndose el número redondeado 28,9.

 

·        Redondear el número 28,252 hasta tres cifras significativas.

 

Debido a que la primera cifra que se arroja es 5 y después de ella sigue la cifra significativa 2, entonces la cifra que se conserva, 2 se aumenta en una unidad. El número redondeado será 28,3.

 

·        Redondear el número 0,8735 hasta tres cifras significativas.

 

Debido a que la última cifra que se conserva 3 es impar, entonces se aumenta en una unidad y el número redondeado será 0,874.

 

Cuando se redondean números mayores de diez, los ceros que no son cifras confiables no se escriben y se denota por separado el multiplicador 10x.

 

Por ejemplo el número 158965,7 redondeado hasta tres cifras significativas, debe ser representado como 159 × 103 ó 15,9 × 104 ó 1,59 × 105. Esta última notación es la preferida.

 

Si, por ejemplo, el número 5230 tiene sólo las dos primeras cifras confiables, se debe escribir 5,2 × 103.

 

En el número 3500 hay cuatro cifras confiables, en el número 3,5 × 103 hay sólo dos cifras confiables.

 

Cuando se realiza un redondeo el valor aproximado puede ser mayor o menor que el número exacto.

 

En la práctica en la mayoría de los casos no se conoce el valor exacto del número aproximado y el error de su redondeo. Sin embargo siempre es posible indicar la magnitud del error límite absoluto Da, el cual representa un número positivo, para el cual se cumple la desigualdad

   ó   

 

donde         z es el valor exacto del número

         a es el valor aproximado del número z.

 

El error límite absoluto para los números aproximados, independientemente del método de su obtención, se toma siempre igual a media unidad del orden de la última cifra conservada:

 

Da = 0,5 × 10 r,

 

donde         r – es el número de posiciones después de la coma.

 

Ejemplo.  El número a = 2,103 tiene un error límite absoluto

 

Da = 0,5 × 10 – 3 = 0,0005,

 

                                                                        ó    z = 2,103 ± 0,0005

 

La relación entre el error límite absoluto del número aproximado y el número mismo se llama error límite relativo y comúnmente se indica en porcentaje.

 

Ejemplo. El error límite relativo del número a = 2,103 es igual a

 

,     ó    0,024%

 

Si el error de un número no se indica, entonces se considera que es igual a media unidad del orden de la última cifra.

 

Los números aproximados por lo común se caracterizan por la cantidad de posiciones después de la coma conservadas, o por la cantidad de cifras significativas. Se llaman cifras significativas a todos los números, excepto los ceros a la izquierda. El cero se considera cifra significativa sólo cuando está entre otras cifras significativas o cuando está al final de un número y no se sabe si se tienen unidades del orden correspondiente en el número dado.

 

Ejemplo. Los números 453; 80,2; 0,0823; 0,250; 470 tienen tres cifras significativas.

 

Las cifras en un número aproximado son llamadas confiables si la diferencia entre el número exacto z y su valor aproximado a no es mayor que la mitad de la unidad del orden de la última cifra del número aproximado, que en este caso es el error límite absoluto Da.

 

De manera que, de acuerdo a esta regla todas las cifras significativas de un número aproximado son confiables.

 

El error del resultado de cualquier operación aritmética realizada con números aproximados se expresa a través del error de los datos iniciales sobre la base de la Teoría del cálculo de errores de funciones.

 

Cuando se realiza una gran cantidad de cálculos y no se tienen en cuenta los errores de cada resultado por separado, es necesario regirse por las siguientes reglas, las cuales garantizan la obtención de resultados con todas las cifras confiables.

 

1. Cuando se suman y restan números aproximados es necesario redondear el resultado final hasta el número más pequeño de cifras decimales que tenían los datos iniciales. Los números que tienen más cifras decimales es necesario redondearlos previamente conservando una cifra decimal más que las que posee el número con menos cantidad de cifras decimales.

 

Ejemplo. Encontrar la suma 28,4+32,844+0,452+2,786

 

Ya que el primer sumando tiene sólo décimas, redondeamos el resto de sumandos hasta las centésimas. Luego de la suma, redondeamos el resultado hasta las décimas.

 

28,4 + 32,84 + 0,45 + 2,79 = 64,48 » 64,5.

 

2. Cuando se multiplican y dividen números es necesario previamente redondearlos, conservando una cifra significativa de más con respecto a la cantidad de cifras significativas del número que tiene el menor número de ellas. En el resultado definitivo se conservan tantas cifras significativas como tenga el que menos cifras significativas tenía.

 

Ejemplo. Encontrar el producto de    1,4 × 2,614 × 7,1956

 

Previamente redondeamos todos los números hasta las centésimas. Luego de la multiplicación redondeamos hasta las décimas:

1,4 × 2,614 × 7,1956 = 26,309 » 26,3

 

3. Cuando se eleva al cuadrado o al cubo en el resultado final se deben conservar tantas cifras decimales, cuantas tiene el número aproximado a elevarse a la potencia dada.

 

Ejemplo. Elevar al cuadrado el numero 4,43.

 

Obtenemos  4,432 = 19,6249 » 19,62.

 

4. Cuando se extrae raíz cuadrada o cúbica en el resultado final se debe tomar tantas cifras decimales cuantas tenía el número bajo el signo de radical.

 

Ejemplo. Extraer la raíz cuadrada de 4,33 × 10 – 6 .

 

Obtenemos .

 

5. Cuando se realiza el cálculo de expresiones complejas es necesario cumplir las reglas 1...4, en correspondencia con el tipo de operaciones realizadas. En este caso en todas los resultados intermedios se debe conservar una cifra significativa más, la cual en el resultado final se arroja de acuerdo a las reglas de redondeo.

 

Ejemplo. Encontrar el valor numérico de la expresión

 

 

En la expresión el número 2,4 es el que tiene menos cifras significativas, por esto todo los resultados intermedios deben ser redondeados hasta tres cifras significativas. El resultado final se redondea hasta dos cifras significativas. Obtenemos

 

 

Referencia

[1] Resistencia de Materiales: Manual de Laboratorio. M.D. Podskrebko, Minsk, Amalfeya, 2001, 272 pag.

 

 

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